​三角函数—脚下有路

三角函数—脚下有路

巧解三角函数

三角函数是高中数学中很重要的一部份知识，教材上花了大量的篇幅讲解其性质，图像以及运算规则。我们今天主要讲解一下解三角函数的两个小技巧：“整体角思路”和“1的运用”，下面分别介绍。

整体角思路，顾名思义，就是不要把角拆开，然后再去凑另一个角，这样计算量会比拆开后用“两角和”或“两角差”公式简单许多。例一：已知sin（ x＋

/4）=1/3，求sin2x？ 这里的“ x＋

/4”就是整体角，如果不拆开它，我们运用余弦2倍角公式：cos2y =1-2（siny）^2，可得cos（2x

/2）=1-2（sin（ x＋

/4））^2=1-2*（1/9）=7/9，而cos（2x

/2）运用诱导公式可得：cos（2x

/2）=-sin2x，所以，sin2x=-7/9。

下面我们再看一个例子，例二：已知sin（ x＋2

/3）=1/4，求：cos（ x＋

/6）=？ 首先，y =cos x是偶函数，cos（ x＋

/6）=cos（- x-

/6），而（ x＋2

/3） （- x-

/6）=

/2，故：cos（ x＋

/6）=cos（- x-

/6）=sin（ x＋2

/3）=1/4。

接下来看第三个例子，例三：如果cos（x y）=1/5，x和x均是锐角，且sin x =1/3，求cosy=？ 由于x和y均是锐角，（Cosx）^2=1-（sin x）^2=1-1/9=8/9，Cosx=2

/3。而“x y”要么是锐角，要么是钝角，其正弦均为正值。根据“平方和”可以算出sin（x y）=2

/5。 故： cosy=cos（（x y）-x）=cos（x y）*cosx sin（x y）*sin x=（1/5）*2

/3 2

/5*（1/3）=（2

2

）/15。

三角函数中有两个等于“1”的关系式：tan(

/4)=1，（sin x）^2 （cos x）^2=1，有些时候巧用“1”能在一定程度上简化运算。 例四：如果 x是三角形的一个内角，（tanx-1）/（1 tanx）=

/3，求x=？ 我们这里把“1”换成：tan（

/4），原式（tanx-1）/（1 tanx）=（tanx-tan

/4）/（1 tanx*tan

/4）=tan（x-

/4）=

/3，因为x是三角形的一个内角，所以，x-

/4=

/6，x=5

/12 。

例五：已知：tanx=2，求sin2x和cos2x=？ 运用正弦2倍角公式，把“1”看成（sin x）^2 （cos x）^2得sin2x=2sinx*cosx=2sinx*cosx/（（sin x）^2 （cos x）^2），分子分母同除以（cos x）^2得sin2x=2tanx/（（tanx^2） 1）。 再运用余弦2倍角公式，把“1”看成（sin x）^2 （cos x）^2得：Cos2x=（cos x）^2-（sin x）^2=（（cos x）^2-（sin x）^2）/（（sin x）^2 （cos x）^2），分子分母同除以（cos x）^2得：Cos2x=（1-（tanx）^2）/（1 （tanx）^2）。代入公式得sin2x=2*2/（1 4）=4/5， cos2x=（1-2^2）/（1 2^2）=-3/5。 综上，三角函数章节内容繁多，公式复杂，解题时一定要认真审题，采用合适的方法可能节省大部份时间。